閑話休題

昨日，７年ぶりで旧職場の同窓会がありました。５０名中１３名の出席でした。最高齢が７７歳，
一番若いひとで42才でした。尚旧職場は稼働期間は僅か４年で19年前に既に閉鎖され，それぞれ新しい職場に散って行きました。長い会社人生で，短かったがこの職場での期間が最も濃密で働き甲斐のあるものでした。私の人生感がここで変わったように思っています。
当時の上司，同僚も近況や思い出を語り合い楽しいひと時でした。また会えるように健康に気をつけい。

モーデルの定理最終章

シルバーマン／テイトの「楕円曲線論」のモーデルの定理に挑戦しから３ヶ月経ちました。いよいよ最終章「補題４」の証明に辿りつきました。理論と検証を並行して進めてきました。これには中尾氏のページを大いに参考にしています。というより，これがなければ到底理解する事が出来ません。
またpari/gp　CommonLisp，mwrank，Ubasic，Asir，Cのプログラムがなければ
とても私に検証出来る世界ではありません。特にCommonLIspは私には初めての言語でしたので
導入とプログラミングにかなりの時間を費やしました。さていよいよ補題４に
とりかかり，最初は順調に進みましたが半月程前に，ついに命題(b)でダウンしてしまいました。脳をクリヤにするために，その後こつこつと有理点を探す作業に没頭，また基礎の読みなおしなどをしてきました。やっとブログを書くくらいの気力に恢復してきましたので近々またモーデルの続きに取り組みたいと考えている。

単位イデアルとは

シルバーマン－テイト著「楕円曲線論」で，Mordellの定理の補題３の証明の中で，単位イデアルという用語が突然出てきて戸惑いました。あるようで無い用語です。ネットや文献で調べましたが，用語そのものを説明したものはありません。ただ演習問題を扱ったブログで，単位イデアルという用語が出てくるのがありますが，単位イデアルそのもの定義はありません。文脈から類推するとどうも自明なイデアルを言っているようにも思えます。厳密さが基本の数学において曖昧なままでは済まされません。どなたかご存知の方はいないでしょうか？。訳者に尋ねるしかないかも．．．
今回この問題を取り上げたのは，常々感じていたことですが，数学用語，記号が統一されていないということです。究極の論理性を追求する数学においては，記号や定義は厳密に統一されるべきだと考える。それが学者や著者により違いがあることが可也ある。例えば安定化部分群，安定部分群，固定化部分群，固定部分群など同義語が４つもある。またp-Sylow群，Sylow-p群も同義語として扱われている。古い用語が新しくなるの仕方がないことである。遷移群が可移群に成ったように。私は色々なところから情報を集めて数論を学習しているので余計に用語の不統一が気になるのかも知れないが．．．。だから私は自分用に用語集，定義集を作っている。でも単位イデアルをどう説明するか悩んでいる。

Common Lispを始める

楕円曲線の有理点を求める上で，どうしてもCommon Lispプログラムを走らせる必要が生じCommonLispを始めました。そこで開発環境導入の経過をメモする。
現在3台マシンがある。
①　EPSON　pentium　D　2.5G　Windows XP　Pro　---本人専用
②　NEC　Celron　2G　Windows XP　Home　---家族共用
③　SOTEC　pentium　Ⅲ　800MHz　WindowsXP＋LinuxのマルチOS---PC研究用
主に①を使用している。
１　最初①にネットより開発環境CLISPを入手し，インストールする。インストールは何の問題もなく出来たが，いざCLISPを起動すると，起動中にいきなり　ジャーンと「Windows-ディスクがありません」という今まで見たことのな重大いメッセージが出た。メッセージをキャンセルするとＣＬＩＳＰ自体は正常に立ち上がり，機能も正常に動作する。しかしこのメッセージが心臓に悪いので何とか解決方法が無いかとネットで調べたら，色々具体的な対処方法があったので全てそれらを実施したが，解決しなかったので，①へのＣＬＩＳＰの導入は諦めた。
２　③にＣＬＩＳＰをインストールし，起動すると重大警告はでず正常に立ち上がり，問題なく使える。
３　②にもＣＬＩＳＰをインストールし，起動すると正常である。機能も問題ない。ＣＬＩＳＰは②か③で使うことにした。
４　しかしどうしても①でＣｏｍmonLispを走らせたいので，ＬｉｓｐＢｏｘをインストールしテストしてみた。
　　起動，機能も正常であるが，肝心のソースファイルのコンパイルが出来ない。色々テストプログラム試してみたが全部compile　failedでコンパイルに失敗してしまう。LispBoxも諦めた。
５　最後の望みとして，余り興味のなかった「ｘｙｚｚｙ」という変な名前のCommonLispに準拠している開発環境テキストエディタを導入してみることにした。最新版をダウンロードしインストールする。問題なく起動し，機能も正常であるみたいだ。だが何分ネット上の説明では丁寧な基本的操作については殆どない。EmacasはテキストエデタとしてLinuxで使っていたので若干の知識があるが，ｘｙｚｚｙをネット上の情報だけで自力で使いこなすことは無理だと思い，これも諦めようと考えた。
６　しかし，偶然にxyzzy　lispの基本操作について丁寧に解りやすく説明したページが見つかったので印刷し，その通り操作してみると，最も知りたかったソースプログラムの読み込みと実行の方法が分かったのである。これが出来た時は天にでも昇る喜びを感じた。これは慶応のkurayaさんブログからであった。

Pari/GPでの楕円曲線有理点の加法計算

楕円曲線の有理点群を計算しているとき，偶然にPariでは次の事が起こることが判明いした。
Ｅ：y^2=x^3-x^2-9x+9
の捻れ群の生成元は[3,0],[1,0]である。Pariでその和[3,0]+[1,0]を計算すると
>　elladd(E,[3,0],[1,0])
%1=[-3,0]
でこの結果は正しい。然し，楕円曲線を
Ｅ1：y^2=x^3-x^2-9x
とし，楕円曲線E1上にない有理点[3,0]，[1,0]についてその和をPari で計算すると
>　elladd(E1,[3,0],[1,0])
%2=[-3,0]
加法の結果が表示される。[-3,0]もＥ１の有理点ではないし，そもそもこの加法は定義されたものでなく，結果は無意味であるがエラーせずに表示される。ソフトの改善が必要と考えるがどうだろうか？
因みに任意の楕円曲線で，曲線上にない任意の有理点について上記の操作をするとやはり意味不明の有理点が結果として出力される。

楕円曲線の２つの見方（２）

gnuplotによる実際の描画

楕円曲線論入門より

曲線画像添付

3次曲線の２つの見方（１）

シルバーマン／テイト著「楕円曲線論入門」で，楕円曲線
y^2=x^3+ax^2+bx+c
をt=x/y，s=1/yと変数変換したときの3次曲線
s=t^3+at^2s+bts^2+cs^3
において，実ｘ－ｙ平面での曲線の形とｓ－ｔ平面での曲線の形を比較して表示しているが，ｘ－ｙ平面で曲線はその通りになりますが，ｓ－ｔ平面では部分的には一致しますが全体的には可也違うものである。具体的にどのような3次曲線ならｓ－ｔ平面で本のような形になるのか理解できなく困っている。
曲線画像を添付したいのだが，ブログを始めたばかりでよくその使い方がわからないので，画像の乗せ方が解ったら乗せるつもり．．．

はじめに

数論を始めました。フェルマ最終定理に挑戦します。