2012年1月10日火曜日

Pari/GPでの楕円曲線有理点の加法計算

楕円曲線の有理点群を計算しているとき,偶然にPariでは次の事が起こることが判明いした。
E:y^2=x^3-x^2-9x+9
の捻れ群の生成元は[3,0],[1,0]である。Pariでその和[3,0]+[1,0]を計算すると
> elladd(E,[3,0],[1,0])
%1=[-3,0]
でこの結果は正しい。然し,楕円曲線を
E1:y^2=x^3-x^2-9x
とし,楕円曲線E1上にない有理点[3,0],[1,0]についてその和をPari で計算すると
> elladd(E1,[3,0],[1,0])
%2=[-3,0]
加法の結果が表示される。[-3,0]もE1の有理点ではないし,そもそもこの加法は定義されたものでなく,結果は無意味であるがエラーせずに表示される。ソフトの改善が必要と考えるがどうだろうか?
因みに任意の楕円曲線で,曲線上にない任意の有理点について上記の操作をするとやはり意味不明の有理点が結果として出力される。

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